Фрактальная размерность: спрятанные измерения

Одной из идей, выросших из открытия фрактальной геометрии была идея нецелых значений для количества измерений в пространстве. Конечно, мы не можем осознать четырехмерные вещи, хотя Lucky Tesseract и активно работает в этом направлении. Мандельброт назвал нецелые измерения такие как 2.76 фрактальными измерениями. Обыкновенная евклидова геометрия утверждает, что пространство ровное и плоское. Свойства такого пространства такого пространства задают точки, линии, углы, треугольники, кубы, сферы, тетраэдры и т. д.

Мандельброт верил, что действительный ландшафт пространства не ровный и что в нашем мире нет ничего, что было бы совершенно плоским, круглым, то есть все фрактально. Следовательно объект, имеющий точно 3 измерения невозможен. Вот почему концепция фрактального измерения была нужна для измерения степени неровности вещей.

Например посмотрите на лист бумаги (предположим, что он двумерный), скомканный в шар. Разве он двумерный? Нет, так как у него есть длина, ширина и высота. Но он не может быть и трехмерным, потому что он сделан из одного бесконечно тонкого листа и, к тому же, он не полностью однородный. Итак, его фрактальная размерность приблизительно равна 2.5. Но его нормальная размерность, так же называемая Евклидовой размерностью будет равна 3. Все фракталы, особенно фрактальные кривые, имеют фрактальные размерности. Мандельброт часто использовал пример того, что береговая линия Англии имеет бесконечную длину.

Попытайтесь наложить нитку на береговую линии Англии на атласе. Затем сделайте то же самое с мореходной картой. Удивительно, но величина последнего измерения будет гораздо больше. Затем поезжайте в Англию и измерьте ее береговую линию метровой полкой. Эта длина будет еще длинней. Продолжайте этот процесс до тех пор, пока у вас в руках не окажется чертежная линейка, которой вы можете измерить береговую линию частичка за частичкой, атом за атомом. Конечно идея этого непрактичного эксперимента в том, что расстояния должны быть соизмеримы по масштабу, положению и деталям. Позже Мандельброт определил, что фрактальная размерность береговой линии Англии составляет 1.25.

Многие объекты в природе (например человеческое тело) состоят из множества фракталов, смешанных друг с другом, причем каждый фрактал имеет свою размерность отличную от размерности остальных. Например, двумерная поверхность человеческой сосудистой системы изгибается, ветвится, скручивается и сжимается так, что ее фрактальная размерность равна 3.0. Но если бы она была разделена на отдельные части, фрактальная размерность артерий была бы только 2.7, тогда как бронхиальные пути в легких имели бы фрактальную размерность 1.07.