Фракталы как неподвижные очки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:

Можно показать, что отображение Ψ является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения — отображения подобия, а n — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n = 3 и отображения ψ1, ψ2, ψ3 — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении Ψ.

В случае, когда отображения ψi — преобразования подобия с коэффициентами ri > 0, размерность s фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем s = ln3 / ln2.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения Ψ, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.