Фракталы в комплексной динамике

Множество Жюлиа́

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z) — многочлен, z0 — комплексное число и рассмотрим следующую последовательность:

Нас интересует поведение этой последовательности при . Эта последовательность может:
Стремиться к бесконечности;
Стремиться к конечному пределу;
Демонстрировать в пределе циклическое поведение, то есть поведение вида
Демонстрировать более сложное поведение.

Множества значений z0, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа на картинке справа — множество точек бифуркации для многочлена F(z) = z2 + c, то есть тех значений z0, для которых поведение последовательности zn может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z0.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность zn демонстрирует определённое поведение при фиксированном z0. Так, множество Мандельброта — это множество всех , при которых zn для F(z) = z2 + c и z0 = 0 не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления zn к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором | zn | превысит фиксированную большую величину A).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.